Số nguyên

Cấu trúc đại số → lý thuyết nhóm
Lý thuyết nhóm

Thuật ngữ cơ bản

Nhóm con
Nhóm con cái chuẩn chỉnh tắc

Nhóm thương
Tích trực tiếp
Tích nửa trực tiếp

Đồng cấu nhóm

hạt nhân
ảnh
tổng trực tiếp

tích bện
đơn
hữu hạn

vô hạn
liên tục
nhân

cộng tính
cyclic
giao hoán
nhị diện

lũy linh
giải được
tác động

Từ vựng người sử dụng nhập lý thuyết nhóm
Danh sách những chủ thể nhập lý thuyết nhóm

Nhóm hữu hạn

Bạn đang xem: số nguyên là số gì

Phân loại group đơn hữu hạn
cyclic thay phiên dạng Lie sporadic
định lý Cauchy định lý Lagrange Định lý Sylow Định lý Hall p-nhóm Nhóm abel sơ cấp Nhóm Frobenius Nhân tử Schur
Nhóm Mathieu M₁₁ M₁₂ M₂₂ M₂₃ M₂₄ Nhóm Conway Co₁ Co₂ Co₃ Nhóm Janko J₁ J₂ J₃ J₄ Nhóm Fischer F₂₂ F₂₃ F₂₄
nhóm đối xứng S_n Nhóm tư Klein V Nhóm nhị diện D_n Nhóm Quaternion Q Nhóm Dicyclic Dic_n

Nhóm tách rạc
Lưới

Số nguyên vẹn ()
Nhóm tự động do

Nhóm tế bào đun

PSL(2, )
SL(2, )

Nhóm số học
Lưới
Nhóm hyperbolic

Tô pô và group Lie

Solenoid
Đường tròn

Tuyến tính tổng quát lác GL(n)

Tuyến tính quan trọng đặc biệt SL(n)

Trực gửi gắm O(n)

Euclid E(n)

Trực gửi gắm quan trọng đặc biệt SO(n)

Unita U(n)

Unita quan trọng đặc biệt SU(n)

Symplectic Sp(n)

G₂
F₄
E₆
E₇
E₈

Lorentz
Poincaré
Bảo giác

Vi đồng phôi
Vòng

Nhóm Lie vô hạn chiều

O(∞)
SU(∞)
Sp(∞)

Nhóm đại số

Nhóm đại số tuyến tính

Nhóm khả quy

Đa tạp gửi gắm hoán

Đường cong elliptic

Trong toán học tập, số nguyên được khái niệm một cơ hội phổ biến là một vài rất có thể được viết lách tuy nhiên không tồn tại bộ phận phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là những số nguyên vẹn, trong những khi 9.75, 5 1/2 và ko nên là số nguyên vẹn.

Tập thích hợp những số nguyên vẹn bao hàm 0, những số bất ngờ dương (1, 2, 3,...), còn được gọi là số đếm,^[1]^[1] và những nghịch tặc hòn đảo luật lệ nằm trong của bọn chúng (là những số nguyên vẹn âm, tức là, −1, −2, −3, ...). Tập thích hợp những số nguyên vẹn thông thường được biểu thị bằng văn bản in đậm (Z) hoặc chữ rộng lớn với viền với vần âm "Z" bắt mối cung cấp kể từ giờ Đức Zahlen (nghĩa là "số").^[2]^[3]^[4]^[5] là một trong tụ hợp con cái của tụ hợp những số hữu tỷ , cho tới lượt nó là một trong tụ hợp con cái của tụ hợp những số thực . Giống như tụ hợp những số bất ngờ, là tụ hợp vô hạn kiểm điểm được.

Các số nguyên vẹn tạo nên trở thành group nhỏ nhất và khoanh nhỏ nhất chứa chấp những số bất ngờ. Trong lý thuyết số đại số, những số nguyên vẹn nhiều khi được xem như là số nguyên vẹn hữu tỉ nhằm phân biệt bọn chúng với những số nguyên vẹn đại số tổng quát lác rộng lớn. Trên thực tiễn, số nguyên vẹn (hữu tỉ) là số nguyên vẹn đại số tuy nhiên cũng chính là số hữu tỉ.

Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu tượng rất có thể được dùng để làm biểu thị những tụ hợp không giống nhau, với cơ hội dùng không giống nhau trong số những người sáng tác không giống nhau: ,^[2] hoặc so với những số nguyên vẹn dương, hoặc cho những số nguyên vẹn ko âm và cho những số nguyên vẹn không giống 0. Một số người sáng tác dùng ký hiệu cho những số nguyên vẹn không giống 0, trong những khi những người dân không giống dùng nó cho những số nguyên vẹn ko âm hoặc mang đến {–1, 1}. Bên cạnh đó, được dùng nhằm biểu thị tập dượt những số nguyên vẹn modulo p^[2] (tức là tập dượt những lớp đồng dư của những số nguyên) hoặc tập dượt những số nguyên vẹn p -adic.^[1]^[6]^[7]. chính vì vậy nếu như muốn dùng ký hiệu hoặc ký hiệu thì nên khái niệm lại bên trên đề đánh giá, nếu như bên trên đề không tồn tại khái niệm thì coi như đề này đó là sai. Có một vài bài bác Việc chứng tỏ quy hấp thụ thông thường hoặc dùng nhằm loại lên đường tình huống không giống ko.Chúng tao nên địa thế căn cứ nhập sách giáo khoa lớp 6 thực hiện địa thế căn cứ, nhập sách lớp 6 tụ hợp số nguyên vẹn chỉ mất kí hiệu là Z nên những lúc tất cả chúng ta mang đến đề tuy vậy với sử

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Các số nguyên vẹn rất có thể được xem như là những điểm tách rộc, cơ hội đều nhau bên trên một trục số lâu năm vô hạn. Tại hình bên trên, những số nguyên vẹn ko âm được hiển thị vày màu xanh lá cây lam và số nguyên vẹn âm red color.

Giống tựa như các số bất ngờ, là tụ hợp đóng góp với những luật lệ toán nằm trong và nhân, tức là tổng và tích của nhị số nguyên vẹn ngẫu nhiên là một vài nguyên vẹn. Tuy nhiên, với việc bao hàm cả những số nguyên vẹn âm (và cần thiết là 0), , không phải như những số bất ngờ, cũng chính là tụ hợp đóng góp với luật lệ trừ.^[8]

Các số nguyên vẹn tạo nên trở thành một khoanh đơn vị chức năng, vốn liếng là khoanh cơ bạn dạng nhất, theo gót nghĩa sau: so với ngẫu nhiên khoanh đơn vị chức năng nào là, đều sở hữu một luật lệ đồng cấu độc nhất kể từ những số nguyên vẹn nhập khoanh này. Thuộc tính phổ quát lác này, rõ ràng là một trong đối tượng người tiêu dùng thuở đầu nhập loại khoanh, là đặc thù mang đến khoanh .

ko đóng góp với luật lệ phân tách, vì như thế thương của nhị số nguyên vẹn (ví dụ: 1 phân tách mang đến 2) rất có thể ko là số nguyên vẹn. Mặc mặc dù những số bất ngờ là đóng góp với luật lệ lũy quá, tuy nhiên những số nguyên vẹn thì ko (vì thành quả rất có thể là một trong phân số khi số nón là âm).

Bảng sau liệt kê một vài đặc điểm cơ bạn dạng của luật lệ nằm trong và luật lệ nhân so với ngẫu nhiên số nguyên vẹn a, b và c:

Tính hóa học của luật lệ nằm trong và luật lệ nhân bên trên số nguyên
	Phép cộng	Phép nhân
Tính đóng:	a + b là số nguyên	a × b là số nguyên
Tính kết hợp:	a + (b + c) = (a + b) + c	a × (b × c) = (a × b) × c
Tính gửi gắm hoán:	a + b = b + a	a × b = b × a
Tồn bên trên thành phần đơn vị:	a + 0 = a	a × 1 = a
Tồn bên trên thành phần nghịch tặc đảo:	a + (−a) = 0	Số nguyên vẹn độc nhất với thành phần nghịch tặc hòn đảo (gọi là đơn vị) là −1 và 1.
Thuộc tính phân phối:	a × (b + c) = (a × b) + (a × c) và (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Không với ước số của 0:		Nếu a × b = 0, thì a = 0 hoặc b = 0 (hoặc cả hai)

Trong ngôn từ của đại số trừu tượng, năm tính chất thứ nhất được liệt kê phía trên xác định rằng là một trong group abel với luật lệ nằm trong. Nó cũng là một trong group cyclic, vì như thế từng số nguyên vẹn không giống 0 đều rất có thể được viết lách bên dưới dạng tổng hữu hạn 1 + 1 +... + 1 hoặc (−1) + (−1) +... + (−1). Trên thực tiễn, với luật lệ nằm trong là nhóm tuần trả vô hạn duy nhất — theo gót tức là ngẫu nhiên group tuần trả vô hạn nào là đều là đẳng cấu với .

Bốn tính chất thứ nhất được liệt kê phía trên được cho phép nhân bảo rằng cùng theo với luật lệ nhân là một trong monoid gửi gắm hoán. Tuy nhiên, ko nên từng số nguyên vẹn đều sở hữu nghịch tặc hòn đảo nhân (như tình huống của số 2), Có nghĩa là với luật lệ nhân ko nên là một trong group.

Tất cả những quy tắc kể từ bảng tính chất bên trên (ngoại trừ quy tắc cuối cùng), khi được kết phù hợp với nhau, bảo rằng cùng theo với luật lệ nằm trong và luật lệ nhân là một trong khoanh gửi gắm hoán với thành phần đơn vị chức năng. Nó là nguyên vẹn khuôn của toàn bộ những đối tượng người tiêu dùng của cấu hình đại số vì vậy. Chỉ những đẳng thức của biểu thức là đúng trong những mang đến toàn bộ những độ quý hiếm của biến chuyển, thì cũng chính là đúng trong những ngẫu nhiên khoanh gửi gắm hoán với đơn vị chức năng nào là. Một số số nguyên vẹn không giống 0 ánh xạ cho tới 0 nhập một vài khoanh chắc chắn.

Việc thiếu thốn những ước số của 0 trong những số nguyên vẹn (thuộc tính sau cùng nhập bảng) Có nghĩa là khoanh gửi gắm hoán là một trong miền nguyên vẹn.

Việc thiếu thốn những luật lệ nghịch tặc hòn đảo của luật lệ nhân, tương tự với thực tiễn là ko nên là đóng góp với luật lệ phân tách, Có nghĩa là không phải là một trong ngôi trường. Trường nhỏ nhất chứa chấp những số nguyên vẹn bên dưới dạng một khoanh con cái là ngôi trường những số hữu tỉ. Quá trình kiến tạo những số hữu tỉ kể từ những số nguyên vẹn rất có thể được học theo sẽ tạo trở thành ngôi trường phân số của ngẫu nhiên miền nguyên vẹn nào là. Và ngược lại, chính thức kể từ ngôi trường số đại số (phần không ngừng mở rộng của số hữu tỉ), khoanh số nguyên vẹn của chính nó rất có thể được trích xuất, bao hàm như thể khoanh con cái của chính nó.

Mặc mặc dù luật lệ phân tách thường thì ko được khái niệm bên trên , luật lệ phân tách "với phần dư" được xác lập bên trên bọn chúng. Nó được gọi là luật lệ phân tách Euclid, và với đặc điểm cần thiết sau: mang đến nhị số nguyên vẹn a và b với b ≠ 0, tồn bên trên những số nguyên vẹn q và r độc nhất sao mang đến a = q × b + r và 0 ≤ r < |b|, ở đâu |b| biểu thị độ quý hiếm vô cùng của b.^[9] Số nguyên vẹn q được gọi là thương và r được gọi là phần dư của luật lệ phân tách a mang đến b. Thuật toán Euclid nhằm tính ước số công cộng lớn số 1 hoạt động và sinh hoạt với 1 chuỗi những luật lệ phân tách Euclid.

Một lần tiếp nữa, nhập ngôn từ của đại số trừu tượng, phần bên trên bảo rằng là một trong khoanh Euclid. Như vậy ý niệm rằng là một trong khoanh ideal chủ yếu và ngẫu nhiên số nguyên vẹn dương nào thì cũng rất có thể được viết lách bên dưới dạng tích của những số yếu tắc theo gót một cơ hội cơ bạn dạng độc nhất.^[10] Đây là lăm le lý cơ bạn dạng của số học tập.

Thuộc tính lý thuyết loại tự[sửa | sửa mã nguồn]

là một trong tụ hợp với trật tự trọn vẹn không tồn tại số lượng giới hạn bên trên hoặc bên dưới. Thứ tự động của được khái niệm là: :... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 <... Một số nguyên vẹn là dương nếu như nó to hơn 0 và âm nếu như nó nhỏ rộng lớn 0. Số ko (0) được khái niệm là ko âm cũng ko dương.

Thứ tự động của những số nguyên vẹn tương quí với những luật lệ toán đại số Theo phong cách sau:

Nếu a < b và c < d, thì a + c < b + d
Nếu a < b và 0 < c, thì ac < bc.

Vì vậy, tao tóm lại rằng cùng theo với trật tự bên trên là một trong khoanh với trật tự.

Các số nguyên vẹn là group abel với trật tự trọn vẹn ko tầm thông thường độc nhất với những thành phần dương được bố trí theo gót trật tự phải chăng.^[11] Như vậy tương tự với tuyên phụ thân rằng ngẫu nhiên khoanh reviews Noether nào thì cũng là một trong ngôi trường — hoặc một khoanh định vị vô nằm trong cần thiết.

Xây dựng[sửa | sửa mã nguồn]

Trong quy trình dạy dỗ học tập ở ngôi trường tè học tập, những số nguyên vẹn thông thường được khái niệm một cơ hội trực quan tiền là những số bất ngờ (dương), số 0 và những số đối của những số bất ngờ. Tuy nhiên, loại khái niệm này kéo theo nhiều tình huống không giống nhau (mỗi luật lệ toán số học tập cần phải xác lập bên trên từng tổng hợp những loại số nguyên) và khiến cho việc chứng tỏ rằng những số nguyên vẹn tuân theo gót những lăm le luật số học tập không giống nhau trở thành tẻ nhạt nhẽo.^[12] Do bại liệt, nhập toán học tập lý thuyết tụ hợp tân tiến, một cấu hình trừu tượng hơn^[13] được cho phép người tao xác lập những luật lệ toán số học tập tuy nhiên không tồn tại ngẫu nhiên phân biệt tình huống nào là thông thường được dùng để thay thế thế.^[14] Do bại liệt, những số nguyên vẹn rất có thể được kiến tạo đầu tiên tựa như các lớp tương tự của những cặp số bất ngờ với trật tự (a,b).^[15]

Trực giác là (a,b) là viết lách tắt của thành quả của luật lệ trừ a-b.^[15] Để xác nhận kỳ vọng của tất cả chúng ta rằng 1 − 2 và 4 − 5 biểu thị nằm trong một vài, tất cả chúng ta xác lập mối quan hệ tương tự ~ bên trên những cặp này với quy tắc sau:

Xem thêm: cách tạo tài khoản zalo không cần số điện thoại

chỉ khi

Phép nằm trong và luật lệ nhân những số nguyên vẹn rất có thể được khái niệm theo gót những luật lệ toán tương tự bên trên những số tự động nhiên;^[15] bằng phương pháp dùng [(a,b)] nhằm biểu thị lớp tương tự với (a,b) là member, lớp này có:

Số đối (hoặc luật lệ nghịch tặc hòn đảo của luật lệ cộng) của một vài nguyên vẹn đạt được bằng phương pháp hòn đảo ngược trật tự của cặp:

Do bại liệt luật lệ trừ rất có thể được khái niệm là luật lệ cùng theo với nghịch tặc hòn đảo của luật lệ cộng:

Thứ tự động tiêu xài chuẩn chỉnh bên trên những số nguyên vẹn được thể hiện với bất đẳng thức:

khi và chỉ khi

Dễ dàng xác minh rằng những khái niệm này sẽ không tùy thuộc vào việc lựa lựa chọn thay mặt của những lớp tương tự.

Mọi lớp tương tự với 1 member độc nhất với dạng (n,0) hoặc (0,n) (hoặc cả nhị và một lúc). Số bất ngờ n được xác lập với lớp [(n,0)] (nghĩa là, những số bất ngờ được nhúng nhập những số nguyên vẹn bằng phương pháp ánh xạ gửi n cho tới [(n,0)]) và lớp [(0,n)] được ký hiệu −n (điều này bao hàm toàn bộ những lớp còn sót lại và mang đến lớp [(0,0)] gấp đôi vì thế −0 = 0.

Do bại liệt, [(a,b)] được ký hiệu là

Nếu những số bất ngờ được xác lập với những số nguyên vẹn ứng (sử dụng luật lệ nhúng được trình bày ở trên), thì quy ước này sẽ không dẫn đến sự mơ hồ nước.

Ký hiệu này hồi phục màn trình diễn không xa lạ của những số nguyên vẹn là {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...}.

Một số ví dụ:

Trong khoa học tập PC lý thuyết, những cơ hội tiếp cận không giống nhằm kiến tạo những số nguyên vẹn được dùng vày những máy dò la lăm le lý tự động hóa và những dụng cụ viết lách lại thuật ngữ. Số nguyên vẹn được màn trình diễn bên dưới dạng những thuật ngữ đại số được kiến tạo bằng phương pháp dùng một vài ba luật lệ toán cơ bạn dạng (ví dụ: zero, succ, pred) và, rất có thể, dùng những số bất ngờ, được giả thiết là đã và đang được kiến tạo (sử dụng cách thức Peano).

Tồn bên trên tối thiểu mươi cơ hội kiến tạo những số nguyên vẹn với vết.^[16] Các cấu hình này không giống nhau theo gót một vài cách: con số những luật lệ toán cơ bạn dạng được dùng mang đến cấu hình, con số (thường là kể từ 0 cho tới 2) và những loại đối số được những luật lệ toán này chấp nhận; sự hiện hữu hoặc vắng tanh mặt mũi của những số bất ngờ thực hiện đối số của một vài luật lệ toán này và thực tiễn là những luật lệ toán này còn có nên là hàm tạo nên tự tại hay là không, tức là nằm trong một vài nguyên vẹn rất có thể được màn trình diễn chỉ vày một hoặc nhiều số hạng đại số.

Kỹ thuật kiến tạo những số nguyên vẹn được trình diễn phía trên nhập phần này ứng với tình huống rõ ràng nhập bại liệt với 1 cặp luật lệ toán cơ bạn dạng duy nhất nhận đối số là nhị số bất ngờ và và trả về một vài nguyên vẹn (bằng ). Thao tác này sẽ không tự tại vì như thế số nguyên vẹn 0 rất có thể được viết lách là cặp (0,0), hoặc cặp (1,1) hoặc cặp (2,2), v.v. Kỹ thuật kiến tạo này được dùng vày trợ lý chứng tỏ Isabelle; tuy vậy, nhiều dụng cụ không giống dùng những nghệ thuật kiến tạo thay cho thế, xứng đáng để ý là những nghệ thuật dựa vào những cấu hình tự tại, đơn giản và giản dị rộng lớn và rất có thể được tiến hành hiệu suất cao rộng lớn nhập PC.

Máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Một số nguyên vẹn thông thường là một trong loại tài liệu nguyên vẹn thủy trong những ngôn từ PC. Tuy nhiên, loại tài liệu số nguyên vẹn chỉ rất có thể thay mặt cho 1 tụ hợp con cái của toàn bộ những số nguyên vẹn, vì như thế PC thực tiễn với dung tích hữu hạn. Bên cạnh đó, nhập màn trình diễn luật lệ bù nhị phổ cập, khái niệm cố hữu của vết phân biệt thân ái "âm" và "không âm" chứ không "âm, dương và 0 ". (Tuy nhiên, chắc chắn là PC rất có thể xác lập được liệu một độ quý hiếm số nguyên vẹn với thực sự là số dương hay là không.) Các loại tài liệu xấp xỉ số nguyên vẹn có tính lâu năm cố định và thắt chặt (hoặc tụ hợp con) được ký hiệu là int hoặc Integer nhập một vài ngôn từ lập trình sẵn (chẳng hạn như Algol68, C, Java, Delphi, v.v..).

Các màn trình diễn số nguyên vẹn có tính lâu năm thay cho thay đổi, ví dụ như bignum, rất có thể tàng trữ ngẫu nhiên số nguyên vẹn nào là một vừa hai phải với bộ lưu trữ của dòng sản phẩm tính. Các loại tài liệu số nguyên vẹn không giống được tổ chức thực hiện với độ cao thấp cố định và thắt chặt, thông thường là một vài bit là lũy quá của 2 (4, 8, 16, v.v.) hoặc một vài chữ số thập phân (ví dụ: 9 hoặc 10).

Lực lượng[sửa | sửa mã nguồn]

Lực lượng của tụ hợp những số nguyên vẹn vày ℵ₀ (aleph-null). Điều được đơn giản chứng tỏ bằng sự việc kiến tạo một tuy vậy ánh, bại liệt là một trong hàm đơn ánh và toàn ánh kể từ cho tới . Nếu như tiếp sau đó kiểm tra hàm sau:

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,0) (1,1) (2,3) (3,5)...}

Nếu như thì tao kiểm tra hàm sau:

Xem thêm: tính chu vi hình tứ giác

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,1) (1,3) (2,5) (3,7)...}

Nếu miền bị giới hạn nhập vậy thì từng và từng thành phần của với 1 và có một thành phần ứng của và theo gót khái niệm của đồng đẳng lực lượng thì nhị tụ hợp này còn có lực lượng cân nhau.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Số vô tỉ
Số hữu tỉ
Số nguyên vẹn tố
Số tự động nhiên
Số đại số
Số siêu việt
Số thực
Số phức
Số siêu phức

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

^ ^a ^b ^c Weisstein, Eric W., "Số nguyên" kể từ MathWorld.
^ ^a ^b ^c “Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (bằng giờ Anh). 1 mon 3 năm 2020. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
^ Weisstein, Eric W. “Integer”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
^ Miller, Jeff (29 mon 8 năm 2010). “Earliest Uses of Symbols of Number Theory”. Bản gốc tàng trữ ngày 31 mon một năm 2010. Truy cập ngày đôi mươi mon 9 năm 2010.
^ Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to tướng Algebra. Oxford University Press. tr. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
^ Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Chip Core Mathematics 1" Pearson 2008
^ LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.
^ “Integer | mathematics”. Encyclopedia Britannica (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
^ “The Definitive Higher Math Guide to tướng Long Division and Its Variants — for Integers”. Math Vault (bằng giờ Anh). 24 mon hai năm 2019. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
^ Serge, Lang (1993). Algebra (ấn bạn dạng 3). Addison-Wesley. tr. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.
^ Warner, Seth (2012). Modern Algebra. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Theorem đôi mươi.14, p. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. Bản gốc tàng trữ ngày 6 mon 9 năm 2015. Truy cập ngày 29 tháng tư năm 2015.
^ Mendelson, Elliott (2008). Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. tr. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
^ Ivorra Castillo: Álgebra
^ Frobisher, Len (1999). Learning to tướng Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School. The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series. Nelson Thornes. tr. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
^ ^a ^b ^c Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic. Appleton-Century-Crofts. tr. 83. ISBN 978-0-390-16895-5.
^ Garavel, Hubert (2017). On the Most Suitable Axiomatization of Signed Integers. Post-proceedings of the 23rd International Workshop on Algebraic Development Techniques (WADT'2016). Lecture Notes in Computer Science. 10644. Springer. tr. 120–134. doi:10.1007/978-3-319-72044-9_9. Lưu trữ bạn dạng gốc ngày 26 mon một năm 2018. Truy cập ngày 25 mon một năm 2018.