tiên đề ơ cơ lít

Bách khoa toàn thư hé Wikipedia

Hình học

Hình chiếu một phía cầu lên trên bề mặt phẳng phiu.

Bạn đang xem: tiên đề ơ cơ lít

  • Đại cương
  • Lịch sử

Phân nhánh

  • Euclid
  • Phi Euclid
    • Elliptic
      • Cầu
    • Hyperbol
  • Hình học tập phi Archimedes
  • Chiếu
  • Afin
  • Tổng hợp
  • Giải tích
  • Đại số
    • Số học
    • Diophantos
  • Vi phân
    • Riemann
    • Symplectic
  • Phức
  • Hữu hạn
  • Rời rạc
    • Kỹ thuật số
  • Lồi
  • Tính toán
  • Fractal
  • Liên thuộc

Khái niệm

Chiều

  • Phép dựng hình vày thước kẻ và compa
  • Đỉnh
  • Đường cong
  • Đường chéo
  • Góc
  • Song song
  • Vuông góc
  • Đối xứng
  • Đồng dạng
  • Tương đẳng

Không chiều

  • Điểm

Một chiều

  • Đường thẳng
    • Đoạn thẳng
    • Tia
  • Chiều dài

Hai chiều

  • Mặt phẳng
  • Diện tích
  • Đa giác
Tam giác
  • Đường cao (tam giác)
  • Cạnh huyền
  • Định lý Pythagoras
Hình bình hành
  • Hình vuông
  • Hình chữ nhật
  • Hình thoi
  • Rhomboid
Tứ giác
  • Hình thang
  • Hình diều
Đường tròn
  • Đường kính
  • Chu vi
  • Diện tích

Ba chiều

  • Thể tích
  • Khối lập phương
    • Hình vỏ hộp chữ nhật
  • Hình trụ tròn
  • Hình chóp
  • Mặt cầu

Bốn chiều / số chiều khác

  • Tesseract
  • Siêu cầu
Nhà hình học

theo tên

  • Aida
  • Aryabhata
  • Ahmes
  • Alhazen
  • Apollonius
  • Archimedes
  • Atiyah
  • Baudhayana
  • Bolyai
  • Brahmagupta
  • Cartan
  • Coxeter
  • Descartes
  • Euclid
  • Euler
  • Gauss
  • Gromov
  • Hilbert
  • Jyeṣṭhadeva
  • Kātyāyana
  • Khayyám
  • Klein
  • Lobachevsky
  • Manava
  • Minkowski
  • Minggatu
  • Pascal
  • Pythagoras
  • Parameshvara
  • Poincaré
  • Riemann
  • Sakabe
  • Sijzi
  • al-Tusi
  • Veblen
  • Virasena
  • Yang Hui
  • al-Yasamin
  • Trương Hành

theo giai đoạn

trước Công nguyên
  • Ahmes
  • Baudhayana
  • Manava
  • Pythagoras
  • Euclid
  • Archimedes
  • Apollonius
1–1400s
  • Trương Hành
  • Kātyāyana
  • Aryabhata
  • Brahmagupta
  • Virasena
  • Alhazen
  • Sijzi
  • Khayyám
  • al-Yasamin
  • al-Tusi
  • Yang Hui
  • Parameshvara
1400s–1700s
  • Jyeṣṭhadeva
  • Descartes
  • Pascal
  • Minggatu
  • Euler
  • Sakabe
  • Aida
1700s–1900s
  • Gauss
  • Lobachevsky
  • Bolyai
  • Riemann
  • Klein
  • Poincaré
  • Hilbert
  • Minkowski
  • Cartan
  • Veblen
  • Coxeter
Ngày nay
  • Atiyah
  • Gromov
  • x
  • t
  • s
Hình vẽ minh họa mang lại tuyên bố gốc của Euclid về định đề tuy vậy tuy vậy.

Trong hình học tập, định đề tuy vậy song (tiếng Anh: parallel postulate) hoặc định đề loại năm của Euclid bởi là tiên đề loại năm nhập cuốn Cửa hàng của Euclid, là một trong định đề nhập hình học tập Euclid. Nội dung của định đề này như sau:

Nếu một quãng trực tiếp rời hai tuyến đường trực tiếp không giống nhưng mà dẫn đến nhị góc ở và một phía sở hữu tổng số đo nhỏ hơn nhị góc vuông, hai tuyến đường trực tiếp cơ nếu như kéo dãn rời khỏi tiếp tục rời nhau bên trên phía sở hữu nhị góc sở hữu tổng số đo nhỏ rộng lớn nhị góc vuông cơ.

Mệnh đề này sẽ không kể thẳng cho tới những đường thẳng liền mạch tuy vậy tuy vậy, nhưng mà kể từ cơ dẫn cho tới sự tuy vậy song của những đàng thẳng[1]. Euclid đã mang rời khỏi khái niệm về những đường thẳng liền mạch tuy vậy song nhập câu loại 23[2] - cuốn 1 của cuốn sách Cửa hàng, tức thì trước lúc kể cho tới 5 định đề hình học[3].

Năm định đề nhưng mà định đề loại năm được kể nhập nội dung bài viết này là hạ tầng mang lại hình học tập Euclid - ngành hình học tập mặc cả 5 định đề đều đích nhưng mà nhập cơ sở hữu định đề tuy vậy song này. Một thời hạn lâu năm, người tớ nhận định rằng mệnh đề này là minh bạch và không cần thiết phải minh chứng, một trong những phần cũng bởi sự thất bại của những căn nhà toán học tập trong những công việc minh chứng nó. Tuy nhiên, sở hữu một số trong những căn nhà toán học tập đang được lắc đầu định đề này - kể từ cơ thể hiện những thể mô hình học tập mới nhất nhưng mà được gọi công cộng là hình học tập phi Euclid. Cũng sở hữu một nhánh của hình học tập nhưng mà ở cơ chỉ quan hoài cho tới tứ định đề trước tiên của Euclid được gọi là hình học tập vô cùng (absolute geometry) hoặc hình học tập trung lập (neutral geometry).

Các mệnh đề tương đương[sửa | sửa mã nguồn]

Tiên đề này còn có nhiều phương pháp tuyên bố không giống nhau tương tự về mặt mày Toán học tập, và một trong những số này là định đề của Playfair, được gọi là ở trong nhà toán học tập người Scotland John Playfair, tuyên bố như sau:

Trong mặt mày phẳng phiu, qua loa một đường thẳng liền mạch và một điểm ko nằm trong đường thẳng liền mạch mang lại trước, rất có thể kẻ một và có một đường thẳng liền mạch trải qua điểm và tuy vậy song với đường thẳng liền mạch mang lại trước[4].

Tiên đề này phiên bản thân thích nó ko tương tự về mặt mày logic với nguyên vẹn phiên bản của Euclid - khi nhưng mà sở hữu những mô hình học tập nhưng mà định đề này đích, sở hữu vài ba loại thì ko. Tuy nhiên, nếu như tớ xét cho tới hình học tập Euclid, định đề này rất có thể được dùng nhằm minh chứng định đề sót lại - kể từ cơ xuất hiện chân thành và ý nghĩa tương tự nhập hình học tập tuyệt đối[5].

Xem thêm: chúc sinh nhật con gái

Có nhiều mệnh đề không giống tương tự với định đề tuy vậy song đang được khuyến cáo, một vài ba nhập số bọn chúng coi có vẻ như ko tương quan cho tới sự tuy vậy song lắm, một vài ba lại theo đuổi vòng lặp khi nhận định rằng định đề này là đích và nỗ lực minh chứng định đề này bằng phương pháp dùng fake thuyết cơ một cơ hội vô thức. Các mệnh đề được khuyến cáo rất có thể kể đến:

  1. Luôn sở hữu một và có một đường thẳng liền mạch rất có thể kẻ tuy vậy song với đường thẳng liền mạch đang được mang lại, trải qua một điểm ko nằm trong đường thẳng liền mạch này được mang lại trước - định đề của Playfair.
  2. Tổng phụ thân góc của từng tam giác đều vày 180° - định đề tam giác (tiếng Anh: Triangle postulate)
  3. Luôn tồn bên trên một tam giác sở hữu tổng phụ thân góc vày 180°.
  4. Tổng những góc vào cụ thể từng tam giác luôn luôn đều nhau.
  5. Tồn bên trên một cặp tam giác đồng dạng tuy nhiên ko tương đẳng cùng nhau.
  6. Tam giác bất kì luôn luôn nội tiếp một đàng tròn xoe.
  7. Nếu phụ thân góc của một tứ giác là góc vuông, góc sót lại cũng chính là góc vuông.
  8. Tồn bên trên một hình bình hành sở hữu toàn bộ những góc là góc vuông, được gọi là hình chữ nhật.
  9. Tồn bên trên một cặp đường thẳng liền mạch luôn luôn tồn bên trên khoảng cách cùng nhau, với nhị điểm bất kì theo thứ tự nằm trong hai tuyến đường trực tiếp cơ.
  10. Hai đường thẳng liền mạch nằm trong tuy vậy song với cùng 1 đường thẳng liền mạch thì tuy vậy song cùng nhau.
  11. Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền vày tổng bình phương nhị cạnh góc vuông - lăm le lý Py-ta-go.[6] [7]
  12. Định lý cos là tình huống tổng quát tháo của lăm le lý Pythagoras.
  13. Diện tích của một tam giác không tồn tại số lượng giới hạn - định đề của Wallis[8]
  14. Hai góc lòng của tứ giác Saccheri luôn luôn vày 90°.
  15. Nếu một đường thẳng liền mạch rời một trong những hai tuyến đường trực tiếp tuy vậy song cùng nhau và phụ thân đường thẳng liền mạch này đồng phẳng phiu, thì đường thẳng liền mạch này sẽ rời đường thẳng liền mạch tuy vậy song sót lại - định đề của Proclus[9].

Dù vậy, những mệnh đề chứa chấp kể từ "song song" xuất hiện tại nhập mệnh đề cơ giản dị và đơn giản rộng lớn cơ hội khái niệm cơ phiên bản của Euclid nhập câu 30 của cuốn loại Nhất - Cửa hàng của tôi, thông thường là: luôn luôn trực tiếp sở hữu khoảng cách cùng nhau - ko lúc nào rời nhau - nằm trong dẫn đến một góc nếu như nằm trong được rời vày một đường thẳng liền mạch loại phụ thân. Lấy ví dụ với định đề của Playfair, khi ông khái niệm sự tuy vậy song là sự việc hai tuyến đường trực tiếp luôn luôn sở hữu khoảng cách cùng nhau hoặc nằm trong góc khi rời vày một đường thẳng liền mạch không giống, kể từ cơ không thể tương tự với định đề loại năm của Euclid nữa - khi rất có thể minh chứng dùng tứ định đề trước tiên. Chú ý rằng những cơ hội khái niệm này sẽ không tương tự trọn vẹn cùng nhau, khi nhập hình học tập hyperbol sở hữu cho tới nhị khái niệm về sự việc tuy vậy song của những đường thẳng liền mạch.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Từ thuở đầu, người tớ nhận định rằng phía trên ko nên là một trong định đề khi nó rất có thể minh chứng được, và nhập xuyên suốt nhị ngàn năm, sở hữu thật nhiều nỗ lực của những căn nhà toán học tập trong những công việc dùng tứ định đề trước tiên và những hệ trái khoáy của chính nó nhằm giải quyết và xử lý vấn đề[10]. Lý bởi mang lại những sự nỗ lực này là vì như thế, rất khác với tứ định đề trước tiên, định đề tuy vậy song này coi ko minh bạch lắm. Dù mang lại nhiều nỗ lực đang được ném ra, sở hữu một số trong những minh chứng được nghĩ rằng đích cho đến khi những sai lầm không mong muốn được đã cho thấy, với lỗi sai thông dụng nhất thông thường là quá nhận những mệnh đề tương tự với định đề cần thiết minh chứng, ví như định đề của Playfair là đích. Tiên đề này cũng sẽ được John Playfair đòi hỏi thay cho thế nguyên vẹn phiên bản của Euclid nhập một lời nói comment có tiếng về Euclid nhập năm 1795, song cho đến ni, định đề này vẫn là một trong định đề ko thể minh chứng.

Proclus (410-485) đang được comment về cuốn sách Cửa hàng rằng ông đã và đang demo minh chứng nhằm kể từ cơ rút gọn gàng tiên đề loại năm trải qua tứ định đề trước tiên, cũng đã cho thấy Ptolemy đã mang rời khỏi một minh chứng sai, song ông cũng ko khá rộng lớn là bao. Tuy nhiên, ông đã và đang tuyên bố được một mệnh đề tương tự với định đề này.

Ibn al-Haytham hoặc Alhazen (965-1039), một căn nhà toán học tập người Ả Rập đang được nỗ lực minh chứng tiên đề này vày phản chứng[11], việc này đang được vô tình hùn ông thể hiện định nghĩa về những quy tắc dời hình nhập hình học[12]. Ông cũng thể hiện khái niệm về tứ giác Lambert, nhưng mà sau này được Boris Abramovich Rozenfeld gọi là là "tứ giác Ibn-al-Haytham-Lambert"[13], và sự minh chứng của ông cũng dùng những nguyên tố nhập tứ giác Lambert và định đề của Playfair[14].

Nhà toán học tập người Ba Tư Omar Khayyám (1050-1123) đã và đang demo thể hiện minh chứng bằng sự việc minh chứng một mệnh đề tương tự động được thể hiện trải qua tứ mệnh đề ban đầu: "Hai đường thẳng liền mạch quy tụ tiếp tục rời nhau, và ko thể khiến cho hai tuyến đường trực tiếp phân kì ở phía nhưng mà bọn chúng hội tụ[15]". Ông đã và đang thể hiện được những thành quả nhưng mà trong tương lai thuộc sở hữu hình học tập elliptic và hình học tập hyperbol, tuy vậy tiên đề nhưng mà ông dùng chứa nhiều sự mâu thuẫn[16]. Ông ko nỗ lực minh chứng định đề tuy vậy song giống như các căn nhà toán học tập chuồn trước và chuồn sau ông (mà nhập cơ sở hữu Giovanni Girolamo Saccheri), tuy nhiên cũng trị hình thành rằng nếu như hai tuyến đường trực tiếp nằm trong vuông góc với cùng 1 đường thẳng liền mạch nhưng mà rời một đường thẳng liền mạch không giống tuy vậy song với đường thẳng liền mạch được rời. Nếu như nhị góc vừa được tạo ra trở nên là góc vuông, tớ chiếm được định đề loại năm của Euclid, tuy nhiên nếu như không nên, nhị góc cơ hoặc nằm trong nhọn hoặc nằm trong tù. Khayyam đang được cho là nhị tình huống này tiếp tục dẫn cho tới những sự xích míc chiếu theo đuổi định đề ông đưa ra, song định đề của ông ko tương tự với định đề của Euclid.

Mô miêu tả mang lại định đề tuy vậy song của Euclid - phiên phiên bản của Playfair trong số hệ hình học tập không giống nhau: Euclid (1) - - Elliptic (2) và Hyperbol (3)

Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274) nhập cuốn "Al-risala al-shafiya'an al-shakk fi'l-khutut al-mutawaziya" (Luận về những yếu tố của những đường thẳng liền mạch tuy vậy song - ghi chép năm 1250) đã mang rời khỏi những lời nói phê bình về định đề tuy vậy song và những nỗ lực minh chứng của Khayyam rộng lớn một thế kỉ trước[17]. Nasir đã và đang demo minh chứng định đề này vày phản triệu chứng, và xét những tình huống nhưng mà thời nay là hình học tập elliptic/hyperbolic mặc dù ko tin tưởng những tình huống này rất có thể xảy ra[16].Con trai của ông, Sadr al-Din (được biết cho tới là Pseudo-Tusi) đã và đang ghi chép một cuốn sách về chủ thể này nhập năm 1298 dựa vào những tâm lý trong tương lai của những người phụ thân - cuốn sách đã mang rời khỏi một trong mỗi giành giật cãi nhanh nhất có thể về hình học tập phi Euclid trong những công việc sở hữu một mệnh đề tương tự với định đề tuy vậy tuy vậy. Ông đang được sửa thay đổi kha khá khối hệ thống định đề và mệnh đề của Euclid, kèm theo với này là thể hiện những minh chứng mới nhất và không giống đối với nguyên vẹn phiên bản cuốn sách Cơ sở[18][19]. Những phân tích này của Sadr al-Din được thứ tự trước tiên công khai minh bạch ở Rome nhập năm 1594 và được những căn nhà hình học tập châu Âu nối tiếp bửa sung[18], cũng thêm phần hùn Saccheri hợp tác vào việc này nhưng mà ở đầu cuối thể hiện được những phản biện nhập lý luận của Sadr và tiếp sau đó thao tác với Wallis[20].

Giordano Vitale (1633-1711) nhập cuốn sách Euclide restituo (Tái dựng Euclid, 1680, 1686) của tôi đang được dùng tứ giác Saccheri nhằm minh chứng rằng nếu như sở hữu 3 điểm bên trên nhị cạnh AB và CD cơ hội đều nhau, thì từng điểm bên trên hai tuyến đường trực tiếp này cơ hội đều nhau. Girolamo Saccheri (1667-1733) đã và đang theo đuổi xua đuổi minh chứng tương tự động, đang được vô tình minh chứng được mệnh đề này đích từ là 1 tình huống sai tuy nhiên ko thể minh chứng nhập tình huống tổng quát tháo.

Năm 1766, Johann Heinrich Lambert đang được ghi chép cuốn Theorie der Parallellinien (Lý thuyết của sự việc tuy vậy song) tuy nhiên ko xuất phiên bản, nhưng mà ở nhập cơ ông - tương đương với Saccheri đang được cố minh chứng định đề loại năm này. Ông dùng đối tượng người dùng nhưng mà thời nay tớ gọi là tứ giác Lambert - một tứ giác sở hữu phụ thân góc vuông. Lambert nhanh gọn lẹ loại trừ năng lực rằng góc loại tư sót lại nên vuông, kể từ cơ tiếp cận nhiều lăm le lý sau thời điểm coi góc sót lại nhọn hoặc tù. Không tương đương với Saccheri, ông ko lúc nào cảm nhận thấy phiên bản thân thích tôi đã đụng chạm được nhập sự bất hợp lí của phản triệu chứng khi chuồn theo phía này, tuy nhiên đã và đang minh chứng nhập hình học tập phi Euclid rằng tổng phụ thân góc nhập một tam giác tăng nếu mà diện tích S tam giác cơ rời - kể từ cơ tiếp cận phỏng đoán về năng lực tồn bên trên một quy mô toán học tập mới nhất, song ko trả phát minh này ra đi hơn[21].

Khi nhưng mà những phía chuồn của Khayyam hoặc Saccheri trong những công việc minh chứng định đề loại năm của Euclid trải qua việc bác bỏ quăng quật năng lực có một không hai rất có thể xẩy ra, thế kỉ IXX tận mắt chứng kiến việc những căn nhà toán học tập đang được tìm hiểu rời khỏi những năng lực mới nhất và thấy rằng yếu tố này rất có thể nằm ở vị trí sự thiếu thốn nhất quán về mặt mày logic. Trong năm 1829, Nikolai Ivanovich Lobachevsky công phụ thân phân tích của tôi về một mô hình học tập mới nhất bên trên một tập san giờ Nga, trong tương lai được tái ngắt công phụ thân lại vày giờ Đức năm 1840. Năm 1831, János Bolyai đang được bổ sung cập nhật thêm nữa cuốn sách bởi phụ thân ông ghi chép một phụ lục về hình học tập hyperbol - hoặc thưa Theo phong cách không giống ông và Lobachevsky đang được nằm trong cải cách và phát triển một phát minh một cơ hội song lập cùng nhau. Carl Friedrich Gauß cũng phân tích yếu tố này tuy nhiên ko công phụ thân bất kể thành quả này. Sau khi sẽ có được thư của những người phụ thân của Bolyai - Farkas Bolyai nói đến thành quả phân tích của Bolyai, ông đang được đáp lại rằng:

Nếu tôi thưa tức thì rằng tôi ko thể khen ngợi dự án công trình này, có lẽ rằng ông tiếp tục nên bất thần lắm, tuy nhiên tôi thiệt sự ko thể. Nếu tôi khen ngợi dự án công trình này, không khác gì tôi đang được ca tụng chủ yếu bản thân cả. Xuyên xuyên suốt nội dung của phiên bản phân tích này, những điều nhưng mà nam nhi ông đã trải được và những thành quả cậu ấy đang được rút rời khỏi được, nó gần như là tương đương với những gì tôi đang được tâm lý và thể hiện, điều đang được luôn luôn khiến cho tôi làm cho đầu đau nhập xuyên suốt phụ thân mươi - phụ thân mươi lăm năm qua[22].

Các mô hình học tập hệ trái khoáy được cải cách và phát triển trong tương lai vày Lobachevsky, Riemann và Henri Poincaré bao gồm sở hữu hình học tập hyperbol (trong tình huống góc sót lại nhọn) và hình học tập elliptic (trong tình huống góc sót lại tù). Sự song lập với định đề tuy vậy song của Euclid với những định đề không giống thứ tự trước tiên được thể hiện tại vày Eugenio Beltrami nhập năm 1868.

Hệ quả[sửa | sửa mã nguồn]

Euclid ko hề rút rời khỏi được những hệ trái khoáy hoặc lăm le lý hòn đảo mang lại định đề loại năm của ông, này cũng là một trong nhập số những nguyên nhân nhằm rất có thể phân biệt hình học tập Euclid với hình học tập elliptic. Sở Cửa hàng cũng có thể có một minh chứng mang lại mệnh đề về sự việc tuy vậy song:

Nếu một đường thẳng liền mạch rời hai tuyến đường trực tiếp đang được rời nhau dẫn đến nhị góc so sánh le đều nhau, thì đường thẳng liền mạch cơ tuy vậy song với một trong những hai tuyến đường trực tiếp ban đầu - Euclid, Mệnh đề 27[23], cuốn I - Cửa hàng.

Sau này khi được Augustus De Morgan[24]chỉ rời khỏi, người tớ thấy rằng mệnh đề này tương tự về mặt mày logic với:

Trong tam giác bất kì, nếu như một cạnh của tam giác to hơn cả nhị cạnh sót lại, thì góc đối lập của cạnh này cũng tiếp tục to hơn nhị góc sót lại. - Euclid, Mệnh đề 16[25], cuốn I - Cửa hàng.

Xem thêm: hãy yêu 1 người vừa gặp bạn đã cười

Hai mệnh đề này trọn vẹn ko tùy theo định đề loại năm, tuy nhiên lại cần thiết nền tảng là định đề loại nhị, vấn đề đó khiến cho nhị mệnh đề này sai nhập hình học tập elliptic.

Luôn rất có thể kéo dãn một quãng trực tiếp vô hạn về cả nhị phía đầu mút - Euclid, Tiên đề 2[26], cuốn I - Cửa hàng.

Chỉ trích[sửa | sửa mã nguồn]

Các nỗ lực nhằm minh chứng định đề này một cơ hội logic bị chỉ trích vày Arthur Schopenhauer nhập cuốn The World as Will and Representation của ông. Tuy nhiên, sự chỉ trích này vày Schopenhauer triệu tập nhập việc định đề này luôn luôn trực tiếp đích và không cần thiết phải minh chứng, ko nên là vì sở hữu sự tuần tự động thông xuyên suốt về mặt mày logic đối với những định đề khác[27].

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Euclid
  • Hình học tập Euclid và hình học tập phi Euclid
  • Cơ sở

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ “Wayback Machine” (PDF). web.archive.org. 2 mon hai năm 2017. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 2 mon hai năm 2017. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  2. ^ “Euclid's Elements, Book I, Definition 23”. aleph0.clarku.edu. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  3. ^ “Euclid's Elements, Book I”. aleph0.clarku.edu. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  4. ^ “Euclid's Elements, Book I, Proposition 30”. aleph0.clarku.edu. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  5. ^ Henderson, David W. (2005). Experiencing geometry : Euclidean and non-Euclidean with history. Daina Taimin̦a (ấn phiên bản 3). Upper Saddle River, N.J.: Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-143748-8. OCLC 55518440.
  6. ^ Weisstein, Eric W. (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (ấn phiên bản 2). Boca Raton: Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-347-2. OCLC 50252094.
  7. ^ Pruss, Alexander R. (2006). The principle of sufficient reason : a reassessment. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85959-2. OCLC 228144795.
  8. ^ “Euclid's Fifth Postulate”. www.cut-the-knot.org. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  9. ^ Weisstein, Eric W. “Proclus' Axiom”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  10. ^ Euclid (1956). The thirteen books of Euclid's Elements. Thomas Little, Sir Heath . New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60088-2. OCLC 355237.
  11. ^ Katz, Victor J. (1998). A history of mathematics : an introduction (ấn phiên bản 2). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 0-321-01618-1. OCLC 38199387.
  12. ^ Katz, Victor J. (1998). A history of mathematics : an introduction (ấn phiên bản 2). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 0-321-01618-1. OCLC 38199387.
  13. ^ Rozenfelʹd, B. A. (1988). A history of non-Euclidean geometry : evolution of the concept of a geometric space. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-6449-1. OCLC 15550634.
  14. ^ “A JSTOR Time Line”, JSTOR, Princeton: Princeton University Press, tr. XXVII–XXXVI, 31 mon 12 năm 2012, truy vấn ngày 8 mon 11 năm 2022
  15. ^ Encyclopedia of the history of Arabic science. Rushdī. Rāshid, Régis Morelon. London: Routledge. (2000 printing). ISBN 0-415-02063-8. OCLC 34731151. Quản lý CS1: không giống (liên kết)
  16. ^ a b “Arabic nautical science”, Encyclopedia of the History of Arabic Science, Routledge, tr. 216–256, 8 mon 8 năm 2019, truy vấn ngày 8 mon 11 năm 2022
  17. ^ Katz, Victor J. (1998). A history of mathematics : an introduction (ấn phiên bản 2). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 0-321-01618-1. OCLC 38199387.
  18. ^ a b Katz, Victor J. (1998). A history of mathematics : an introduction (ấn phiên bản 2). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 0-321-01618-1. OCLC 38199387.
  19. ^ “Arabic nautical science”, Encyclopedia of the History of Arabic Science, Routledge, tr. 216–256, 8 mon 8 năm 2019, truy vấn ngày 8 mon 11 năm 2022
  20. ^ “Giovanni Saccheri - Biography”. Maths History (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  21. ^ “Johann Heinrich Lambert - Biography”. Maths History (bằng giờ Anh). Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  22. ^ Faber, Richard L. (1983). Foundations of Euclidean and non-Euclidean geometry. Thành Phố New York. ISBN 0-8247-1748-1. OCLC 8953706.
  23. ^ “Euclid's Elements, Book I, Proposition 27”. aleph0.clarku.edu. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  24. ^ Heath, T.L., The thirteen books of Euclid's Elements, Vol.1, Dover, 1956, pg.309.
  25. ^ “Euclid's Elements, Book I, Proposition 16”. aleph0.clarku.edu. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  26. ^ “Euclid's Elements, Book I, Postulate 2”. aleph0.clarku.edu. Truy cập ngày 8 mon 11 năm 2022.
  27. ^ https://www.gutenberg.org/files/40097/40097-pdf.pdf