hệ thức lượng trong tam giác thường

Nhắc lại hệ thức lượng nhập tam giác vuông.

Cho tam giác \(ABC\) vuông góc bên trên đỉnh \(A\) (\(\widehat{A} = 90^0\)), tao có:

Bạn đang xem: hệ thức lượng trong tam giác thường

1. \({b^2} = ab';{c^2} = a.c'\)

2. Định lý Pitago : \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

3. \(a.h = b.c\)

4. \(h^2= b’.c’\)

5. \(\dfrac{1}{h^{2}}\) = \(\dfrac{1}{b^{2}}\) + \(\dfrac{1}{c^{2}}\)

 

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh vì thế tổng những bình phương của nhì cạnh còn sót lại trừ lên đường nhì phen tích của nhì cạnh tê liệt nhân với \(cosin\) của góc xen thân thuộc bọn chúng.

Ta đem những hệ thức sau:  

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr} $$

Hệ trái khoáy của quyết định lí cosin:

\(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)

\(\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

\(\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Áp dụng: Tính phỏng nhiều năm lối trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác \(ABC\) đem những cạnh \(BC = a, CA = b\) và \(AB = c\). Gọi \(m_a,m_b\) và \(m_c\) là phỏng nhiều năm những lối trung tuyến thứu tự vẽ kể từ những đỉnh \(A, B, C\) của tam giác. Ta có

\({m_{a}}^{2}\) =  \(\dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}\)

\({m_{b}}^{2}\) = \(\dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}\)

\({m_{c}}^{2}\) = \(\dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}\)

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác \(ABC\) ngẫu nhiên, tỉ số thân thuộc một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh tê liệt vì thế 2 lần bán kính của lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác, nghĩa là

\(\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R\)

với \(R\) là nửa đường kính lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp tam giác 

Xem thêm: lời bài hát em yêu mùa hè quê em

Công thức tính diện tích S tam giác

Diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\) được xem bám theo một trong những công thức sau

\(S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A \) \(= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \,(1)\)   

\(S = \dfrac{abc}{4R}\, \,(2)\)           

\(S = pr\, \,(3)\)              

\(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\)  (công thức  Hê - rông) \((4)\)

Trong đó:\(BC = a, CA = b\) và \(AB = c\); \(R, r\) là nửa đường kính lối tròn trĩnh nước ngoài tiếp, bk lối tròn trĩnh nội tiếp và \(S\) là diện tích S tam giác tê liệt.

3. Giải tam giác và phần mềm nhập việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi tìm kiếm những nhân tố (góc, cạnh) chưa chắc chắn của tam giác Lúc tiếp tục biết một vài nhân tố của tam giác tê liệt.

Muốn giải tam giác tao cần thiết lần nguyệt lão contact trong những góc, cạnh tiếp tục mang lại với những góc, những cạnh chưa chắc chắn của tam giác trải qua những hệ thức và được nêu nhập quyết định lí cosin, quyết định lí sin và những công thức tính diện tích S tam giác.

Các Việc về giải tam giác: Có 3 Việc cơ phiên bản về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và nhì góc.

=> Dùng quyết định lí sin nhằm tính cạnh còn sót lại.

b) Giải tam giác lúc biết nhì cạnh và góc xen giữa

=> Dùng quyết định lí cosin nhằm tính cạnh loại phụ vương. 

Sau tê liệt sử dụng hệ trái khoáy của quyết định lí cosin nhằm tính góc.

c) Giải tam giác lúc biết phụ vương cạnh

Đối với Việc này tao dùng hệ trái khoáy của quyết định lí cosin nhằm tính góc: 

    \(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)       

    \(\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\)

    \(cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)

Chú ý: 

Xem thêm: số la mã từ 1 đến 20

1. Cần Note là một trong tam giác giải được Lúc tao biết 3 nhân tố của chính nó, nhập tê liệt cần đem tối thiểu một nhân tố phỏng nhiều năm (tức là nhân tố góc ko được vượt lên trước 2)

2. Việc giải tam giác được dùng nhập những Việc thực tiễn, nhất là những Việc đo lường.