cho tam giác abc nội tiếp đường tròn tâm o

Tam giác ABC được gọi là tam giác nội tiếp đàng tròn xoe tâm O vì như thế đồng tâm O này là tâm của đàng tròn xoe xúc tiếp với tất cả tía cạnh của tam giác ABC. Cụ thể, từng đường thẳng liền mạch trải qua một đỉnh của tam giác và tâm đàng tròn xoe là đàng tiếp tuyến của đàng tròn xoe bại liệt với tam giác.
Tam giác nội tiếp đàng tròn xoe tâm O sở hữu một trong những đặc điểm cần thiết. Ví dụ, đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ABC cũng đều có tâm là O. Hình như, những góc nội tiếp tam giác nội tiếp nằm trong chòm kể từ những đỉnh của tam giác đều phải có tổng vị 180 phỏng.
Điều này Có nghĩa là toàn bộ những cạnh của tam giác đều xúc tiếp với đàng tròn xoe tâm O và những góc nội tiếp tam giác đều phía trên đàng tròn xoe. Do bại liệt, tam giác được gọi là tam giác nội tiếp đàng tròn xoe tâm O.

Bạn đang xem: cho tam giác abc nội tiếp đường tròn tâm o

Để minh chứng rằng điểm A nằm trong đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác BCK, tao cần thiết minh chứng tam giác ABC nội tiếp đàng tròn xoe tâm O.
Bước 1: Xét tam giác ABC nội tiếp đàng tròn xoe tâm O.
- Tam giác ABC được nội tiếp đàng tròn xoe tâm O nên tao sở hữu \\(\\angle BOC = 180^\\circ - \\angle BAC\\) (góc nội tiếp).
- Do tam giác ABC là tam giác nội tiếp nên tao sở hữu \\(\\angle BOC = 2\\angle BAC\\) (góc ở tâm ngoài tiếp vị 50% góc chắn).
- Từ nhị biểu thức bên trên, suy rời khỏi \\(\\angle BAC = \\frac{1}{2}\\angle BOC\\).
Bước 2: Xét tam giác KBC.
- H là vấn đề đối xứng với K qua quýt đoạn trực tiếp BC nên tứ giác BCXH là hình bình hành.
- Vậy, tao sở hữu \\(HX \\parallel BC\\) và \\(HX = BC\\).
- Do bại liệt, tao sở hữu \\(\\angle BHC = \\angle BCK\\) (góc đối);
- Từ bại liệt, suy rời khỏi \\(\\angle BAC = \\frac{1}{2}\\angle BOC = \\angle BHC\\).
Bước 3: Từ những sản phẩm ở nhị bước bên trên, tao suy rời khỏi tam giác ABC sở hữu nhị góc giống hệt, nên tam giác ABC cũng đều có tía góc đều bằng nhau.
- Vậy, tam giác ABC là tam giác cân nặng (với BA = BC).
Bước 4: Xét đàng cao BD (đi qua quýt tâm O).
- Từ bước 3, tao sở hữu tam giác ABC là tam giác cân nặng, nên \\(BD \\perp AC\\) (đường cao).
- Vậy, tao sở hữu OA vuông góc với AC.
Bước 5: Từ bước 4, suy rời khỏi tam giác ABC vuông bên trên A (với OA vuông góc với AC).
- Do bại liệt, điểm A nằm trong đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác BCK.
Vậy, tao tiếp tục minh chứng được rằng điểm A nằm trong đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác BCK.

Để minh chứng rằng đàng chéo cánh AC của tam giác ABC là đàng trung tuyến của tam giác HIK, tao cần thiết tuân theo quá trình sau đây:
Bước 1: Lấy điểm H là phú điểm của những đàng cao của tam giác ABC. Vấn đề này Có nghĩa là AH ⊥ BC và CH ⊥ AB.
Bước 2: Lấy điểm I bên trên đoạn trực tiếp OC.
Bước 3: Chứng minh rằng những tam giác AHB và CHI là đồng dạng.
- Ta sở hữu AH ⊥ BC và CH ⊥ AB, vậy ∠AHC = 90°.
- Từ điểm I bên trên đoạn trực tiếp OC, tao sở hữu IC ⊥ AB.
- Vì vậy, ∠CIH = 90°.
- Do bại liệt, cả nhị tam giác AHC và CHI sở hữu một góc vuông và công cộng một góc bên trên H, vậy bọn chúng đồng dạng theo dõi nguyên tắc góc-bên-góc (AA).
Bước 4: Theo đặc điểm của đồng dạng, tao có:
AH/CH = AB/CI.
Vì ∠AHC = 90° và ∠CIH = 90°, nên tao có: AH/CH = AC/HC.
Từ bại liệt, tao có: AH = AC.
Bước 5: Do điểm H là phú điểm của những đàng cao của tam giác ABC, nên AH cũng chính là đàng cao của tam giác ABC kể từ đỉnh A, vậy AH là đàng trung tuyến của tam giác ABC.
Bước 6: Do AH = AC, nên đàng chéo cánh AC của tam giác ABC cũng chính là đàng trung tuyến của tam giác ABC.
Vậy, tao tiếp tục minh chứng rằng đàng chéo cánh AC của tam giác ABC là đàng trung tuyến của tam giác HIK, vô bại liệt H là phú điểm của những đàng cao của tam giác ABC và I là vấn đề bên trên đoạn trực tiếp OC.

Để dò xét tâm đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ABC lúc biết tía đỉnh của tam giác này, tao cần thiết tuân theo quá trình sau đây:
Bước 1: Xác tấp tểnh đàng trung trực của nhị cạnh thân thiết của tam giác ABC. Để thực hiện điều này, tao cần thiết vẽ hai tuyến phố trực tiếp nằm ở vị trí thân thiết nhị cạnh này và phân chia bọn chúng trở nên nhị phần đều bằng nhau.
- Để dò xét đàng trung trực của cạnh AB, tao vẽ đường thẳng liền mạch trải qua trung điểm của cạnh AB và vuông góc với cạnh AB.
- Tương tự động, nhằm dò xét đàng trung trực của cạnh AC, tao vẽ đường thẳng liền mạch trải qua trung điểm của cạnh AC và vuông góc với cạnh AC.
Bước 2: Tìm phú điểm của hai tuyến phố trung trực tiếp tục dò xét ở Cách 1. Giao điểm đó đó là tâm đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ABC.
Bước 3: Vẽ đàng tròn xoe sở hữu tâm là tâm tiếp tục dò xét ở Cách 2 và trải qua tía đỉnh của tam giác ABC. Đường tròn xoe này đó là đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ABC.
Lưu ý: Để quá trình này hoàn toàn có thể triển khai được, tam giác ABC nên là tam giác ko đồng tâm.
Hy vọng những vấn đề này hoàn toàn có thể giúp cho bạn dò xét rời khỏi tâm đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ABC theo dõi đòi hỏi.

Để minh chứng rằng tam giác ABC nội tiếp đàng tròn xoe tâm O sở hữu tổng những góc vô vị 180 phỏng, tao hoàn toàn có thể dùng những kỹ năng và kiến thức về tam giác nội tiếp và những đặc điểm của những góc vô tam giác.
Giả sử tam giác ABC nội tiếp đàng tròn xoe tâm O và gọi những đàng cao kể từ những đỉnh A, B, C xuống đường thẳng liền mạch BC, CA, AB theo lần lượt là AD, BE, CF. Giả sử phú điểm của hai tuyến phố cao BE và CF là H.
Ta sở hữu những đặc điểm sau:
1. Trong tam giác nội tiếp, tổng nhị góc ở đỉnh đối lập một cung nằm trong đàng tròn xoe vị 180 phỏng. Vì tam giác ABC nội tiếp đàng tròn xoe tâm O, tao sở hữu góc AOB + góc BOC + góc COA = 180 phỏng.
2. Đường cao là đoạn vuông góc kết phù hợp với đoạn chân vuông góc tạo ra trở nên một khối chữ nhật. Vì vậy, góc ở đỉnh của tam giác và góc vuông góc với đàng cao đối lập nằm trong đều bằng nhau. Ta sở hữu góc AHB = góc ACF và góc BHC = góc BEC.
Sử dụng những đặc điểm bên trên, tao có:
góc AOB + góc BOC + góc COA = góc AOB + góc AHB + góc BHC + góc COA
= (góc AHB + góc AOB) + (góc BHC + góc COA)
= góc ACF + góc BEC
= (180 phỏng - góc ABC - góc BAC) + (180 phỏng - góc BAC - góc ACB)
= 360 phỏng - (góc ABC + góc BAC + góc ACB)
Vì tam giác ABC là một trong những tam giác, tổng những góc vô tam giác nên vị 180 phỏng. Do bại liệt, tao có:
góc ABC + góc BAC + góc Ngân Hàng Á Châu = 180 phỏng.
Dựa vô đặc điểm này, kể từ công thức bên trên tao có:
góc AOB + góc BOC + góc COA = 360 phỏng - (góc ABC + góc BAC + góc ACB) = 360 phỏng - 180 phỏng = 180 phỏng.
Vậy tất cả chúng ta tiếp tục minh chứng được rằng tam giác ABC nội tiếp đàng tròn xoe tâm O sở hữu tổng những góc vô vị 180 phỏng.

Để xác lập mối liên hệ thân thiết nửa đường kính đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ABC và những cạnh của tam giác, tao cần phải biết rằng vô một tam giác nội tiếp đàng tròn xoe, đàng phân giác góc ở đỉnh trải qua tâm của đàng tròn xoe nội tiếp. Vì vậy, vô tam giác ABC, đàng phân giác góc ở đỉnh A hạn chế đàng tròn xoe tâm O (đường tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ABC) bên trên điểm M.
Ở tam giác ABC, kể từ quy tấp tểnh góc tiếp tấp tểnh, tao có:
∠AMB = 180° - ∠BAC
Vì AM là đàng phân giác nên tao có:
∠AOM = một nửa ∠AMB
∠AOM = một nửa (180° - ∠BAC)
∠AOM = 90° - một nửa ∠BAC
Vậy OB vuông góc với cạnh BC. Tương tự động, tao có:
OC vuông góc với cạnh AB
OA vuông góc với cạnh AC
Do bại liệt, nửa đường kính của đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ABC tiếp tục vuông góc với những cạnh của tam giác.

Để minh chứng rằng đường thẳng liền mạch qua quýt điểm A và tâm đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ABC hạn chế điểm sách j của đoạn trực tiếp BC sao mang lại AJ = JC, tao cần thiết thực hiện như sau:
1. Vẽ đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ABC sở hữu tâm là O.
2. Vẽ đường thẳng liền mạch qua quýt điểm A và tâm O, hạn chế đoạn trực tiếp BC bên trên điểm J.
3. Ta minh chứng rằng AJ = JC:
- Ta sở hữu tam giác ABC nội tiếp đàng tròn xoe sở hữu 2 lần bán kính AC là đàng chéo cánh của đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ABC. Vì vậy, theo dõi đặc điểm của một đàng chéo cánh, tao có: tam giác JAB và tam giác JCB là đồng dạng.
- Ta sở hữu AJ là cạnh công cộng của nhị tam giác JAB và JCB, vậy AJ = JC.
4. Vì vậy, tiếp tục minh chứng rằng đường thẳng liền mạch qua quýt điểm A và tâm đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ABC hạn chế điểm sách j của đoạn trực tiếp BC sao mang lại AJ = JC.

Để tính diện tích S tam giác ABC nếu như biết nửa đường kính đàng tròn xoe nước ngoài tiếp của chính nó, tao hoàn toàn có thể dùng công thức diện tích S tam giác.
Theo công thức diện tích S tam giác, tao có:
S = (1/2) * a * b * sin(C)
Trong đó:
- S là diện tích S tam giác ABC
- a, b là phỏng lâu năm nhị cạnh của tam giác ABC
- C là góc thân thiết nhị cạnh này
Để tính diện tích S tam giác ABC, tao cần phải biết phỏng lâu năm nhị cạnh của tam giác. Từ vấn đề vô thắc mắc, tao chỉ biết nửa đường kính đàng tròn xoe nước ngoài tiếp của tam giác ABC. Để tính diện tích S tam giác, tao cần thiết dò xét phỏng lâu năm những cạnh của tam giác tương quan cho tới nửa đường kính đàng tròn xoe nước ngoài tiếp.
Để dò xét phỏng lâu năm những cạnh của tam giác, tao hoàn toàn có thể vận dụng kỹ năng và kiến thức về tam giác nội tiếp đàng tròn xoe.
Thông qua quýt những công thức tương quan thân thiết nửa đường kính và những cạnh của tam giác nội tiếp đàng tròn xoe, tao hoàn toàn có thể tính được phỏng lâu năm những cạnh của tam giác ABC. Sau bại liệt, tao vận dụng công thức diện tích S tam giác nhằm tính diện tích S tam giác ABC theo dõi phỏng lâu năm những cạnh tiếp tục tìm kiếm được.
Tuy nhiên, vô thắc mắc ko cung ứng đầy đủ vấn đề nhằm tính đúng mực diện tích S tam giác ABC nếu như chỉ biết nửa đường kính đàng tròn xoe nước ngoài tiếp. Để sở hữu câu vấn đáp đúng mực, tao cần phải biết thêm thắt vấn đề về những góc nhìn quan trọng của tam giác.

Để minh chứng rằng tam giác ABC là tam giác vuông nếu như và chỉ nếu như đàng tròn xoe nước ngoài tiếp của chính nó sở hữu 2 lần bán kính vị đàng chéo cánh AC, tao triển khai quá trình sau:
Bước 1: Giả sử tam giác ABC là tam giác vuông.
- Dựa vô fake thiết, tam giác ABC là tam giác nội tiếp đàng tròn xoe sở hữu tâm O. Khi bại liệt, 2 lần bán kính của đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác là AC.
- Do tam giác ABC là tam giác vuông, tao sở hữu đàng chéo cánh AC là 2 lần bán kính của tam giác ABC.
Bước 2: Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông nếu như đàng tròn xoe nước ngoài tiếp của chính nó sở hữu 2 lần bán kính vị đàng chéo cánh AC.
- Giả sử đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ABC sở hữu 2 lần bán kính vị đàng chéo cánh AC.
- Khi bại liệt, kể từ điểm A, tao kẻ đường thẳng liền mạch xúc tiếp với đàng tròn xoe nước ngoài tiếp bên trên điểm A. Đây đó là đàng cao vô tam giác ABC.
- Cũng kể từ điểm A, tao kẻ đường thẳng liền mạch xúc tiếp với đàng tròn xoe nước ngoài tiếp bên trên điểm A. Đây là đàng phân giác góc A vô tam giác ABC.
- Hai đường thẳng liền mạch xúc tiếp này hạn chế nhau bên trên điểm bên trên đàng khuông nom OAC (vì 2 lần bán kính AC là 2 lần bán kính của đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác).
- Do bại liệt, tao sở hữu điểm O phía trên đàng cao và đàng phân giác góc A của tam giác ABC.
- Vì vậy, tam giác ABC là tam giác vuông.
Tóm lại, tam giác ABC là tam giác vuông nếu như và chỉ nếu như đàng tròn xoe nước ngoài tiếp của chính nó sở hữu 2 lần bán kính vị đàng chéo cánh AC.

Xem thêm: chúc thứ 5 vui vẻ

Để dò xét mối liên hệ thân thiết tỉ số cạnh và góc của tam giác ABC nội tiếp đàng tròn xoe tâm O, tao sở hữu những kỳ quan lại sau đây:
1. Tỉ số thân thiết 2 lần bán kính đàng tròn xoe nội tiếp tam giác ABC và cạnh của tam giác:
Cạnh của tam giác ABC nội tiếp đàng tròn xoe tâm O đó là đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ABC. Đường kính của đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ABC là cạnh lớn số 1 của tam giác. Do bại liệt, tao sở hữu tỉ số:
\\[\\frac{d}{a} = 2 \\times \\frac{R}{R} = 2,\\]
trong bại liệt d là 2 lần bán kính đàng tròn xoe nội tiếp tam giác ABC, a là cạnh của tam giác ABC, R là nửa đường kính đàng tròn xoe nội tiếp tam giác ABC.
2. Tỉ số thân thiết đàng cao của tam giác và nửa đường kính đàng tròn xoe nội tiếp tam giác:
Đường cao của tam giác ABC đó là đàng chân cao thứ hai, địa điểm chân cao này kể từ đỉnh B qua quýt đàng tròn xoe nội tiếp ABC hạn chế 2 lần bán kính trải qua A. Điểm hạn chế này phân chia 2 lần bán kính thực hiện 2 đoạn một cơ hội đồng đều. Do bại liệt, tao sở hữu tỉ số:
\\[\\frac{h}{R} = \\frac{2}{3},\\]
trong bại liệt h là đàng cao của tam giác ABC, R là nửa đường kính đàng tròn xoe nội tiếp tam giác ABC.
3. Tỉ số thân thiết nửa đường kính đàng tròn xoe nội tiếp tam giác và nửa đường kính của đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác:
Do tam giác ABC được nội tiếp vô đàng tròn xoe tâm O, nên nửa đường kính của đàng tròn xoe nội tiếp tam giác và nửa đường kính của đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác sở hữu mối liên hệ như sau:
\\[\\frac{r}{R} = \\frac{1}{2},\\]
trong bại liệt r là nửa đường kính đàng tròn xoe nội tiếp tam giác ABC, R là nửa đường kính của đàng tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ABC.
Hy vọng vấn đề này tiếp tục hữu ích cho mình.