Trực tâm là gì? Tính chất và cách xác định trực tâm tam giác

Trực tâm là gì? Trực tâm tam giác với đặc thù gì, cơ hội xác lập trực tâm như vậy nào? Mời chúng ta hãy nằm trong Download.vn đi kiếm câu vấn đáp nhé.

Trực tâm nhập tam giác là một trong trong mỗi kiến thức và kỹ năng cần thiết nhập hình học tập và đặc trưng trong những bài bác tập luyện tương quan cho tới hình tam giác. Trong bài học kinh nghiệm ngày hôm nay Cửa Hàng chúng tôi tiếp tục ra mắt cho tới chúng ta toàn cỗ kiến thức và kỹ năng vè định nghĩa, đặc thù, cơ hội xác lập tất nhiên ví dụ minh họa và những dạng bài bác tập luyện với đáp án tất nhiên. Qua tư liệu này chúng ta gia tăng kiến thức và kỹ năng nắm rõ công thức nhằm biết phương pháp giải bài bác tập luyện Toán. Trong khi chúng ta coi tăng tài liệu: tam giác vuông cân nặng, tâm lối tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác.

Bạn đang xem: trực tâm của tam giác

1. Khái niệm Trực tâm

Trực tâm của tam giác là vấn đề kí thác nhau của tía lối cao nhập tam giác. Tuy nhiên nhằm xác lập trực tâm nhập tam giác tất cả chúng ta ko nhất thiết nên vẽ tía lối cao. Khi vẽ hai tuyến đường cao của tam giác tớ tiếp tục hoàn toàn có thể xác lập được trực tâm của tam giác.

Đối với những loại tam giác thường thì như tam giác nhọn tam giác tù hoặc tam giác cân nặng tam giác đều thì tớ đều phải sở hữu cơ hội xác lập trực tâm tương đương nhau. Từ nhì đỉnh của tam giác tớ kẻ hai tuyến đường cao của tam giác cho tới nhì cạnh đối lập. Hai cạnh cơ kí thác nhau bên trên điểm này thì điểm cơ đó là trực tâm của tam giác. Và lối cao sót lại chắc chắn rằng cũng trải qua trực tâm của tam giác mặc dù tớ ko cần thiết kẻ.

Nếu nhập một tam giác, với tía lối cao kí thác nhau bên trên một điểm thì điểm này được gọi là trực tâm. Điều này sẽ không nên phụ thuộc vào đôi mắt thông thường, nhưng mà phụ thuộc vào tín hiệu nhận ra.

+ Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm tại vị trí miền nhập tam giác đó

+ Đối với tam giác vuông: Trực tâm chình là đỉnh góc vuông

+ Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm tại vị trí miền ngoài tam giác đó

2. Khái niệm lối cao của một tam giác

Đoạn vuông góc kẻ từ là 1 đỉnh cho tới đường thẳng liền mạch chứa chấp cạnh đối lập được gọi là lối cao của tam giác cơ, và từng tam giác sẽ sở hữu được tía lối cao.

3. Tính hóa học tía lối cao của tam giác

- Ba lối cao của tam giác nằm trong trải qua một điểm. Điểm này được gọi là trực tâm của tam giác. Trong hình hình ảnh bên dưới, S là trực tâm của tam giác LMN.

- Ba lối cao của tam giác bao hàm những đặc thù cơ bạn dạng sau:

*Tính hóa học 1: Trong một tam giác cân nặng thì lối trung trực ứng với cạnh lòng cũng đôi khi là lối phân giác, lối trung tuyến và lối cao của tam giác cơ.

*Tính hóa học 2: Trong một tam giác, nếu mà với 1 lối trung tuyến đôi khi là phân giác thì tam giác này đó là tam giác cân nặng.

*Tính hóa học 3: Trong một tam giác, nếu mà với 1 lối trung tuyến đôi khi là lối trung trực thì tam giác này đó là tam giác cân nặng.

*Tính hóa học 4: Trực tâm của tam giác nhọn ABC tiếp tục trùng với tâm lối tròn trặn nội tiếp tam giác tạo ra vì thế tía đỉnh là chân tía lối cao kể từ những đỉnh A, B, C cho tới những cạnh BC, AC, AB ứng.

*Tính hóa học 5: Đường cao tam giác ứng với 1 đỉnh hạn chế lối tròn trặn nước ngoài tiếp bên trên điểm loại nhì được xem là đối xứng của trực tâm qua quýt cạnh ứng.

*Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cơ hội đều tía đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cơ hội đều tía cạnh là tư điểm trùng nhau.

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân nặng bên trên A, lối trung tuyến AM và lối cao BK. Gọi H là kí thác điểm của AM và BK. Chứng minh rằng CH vuông góc với AB.

Bài làm

Vì tam giác ABC cân nặng bên trên A nên lối trung tuyến AM cũng chính là lối cao của tam giác ABC.

Ta với H là kí thác điểm của hai tuyến đường cao AM và BK nên H là trực tâm của tam giác ABC

Suy đi ra CH là lối cao của tam giác ABC

Vậy CH vuông góc với AB.

4. Cách xác lập trực tâm của tam giác

Trực tâm của tam giác nhọn

Tam giác nhọn ABC với trực tâm H nằm tại vị trí miền nhập tam giác.

Trực tâm của tam giác vuông

Trực tâm đó là đỉnh góc vuông.

Ví dụ: Tam giác vuông EFG với trực tâm H trùng với góc vuông E.

Trực tâm của tam giác tù

Trực tâm của tam giác tù nằm tại vị trí miền ngoài tam giác cơ.

Ví dụ: Tam giác tù BCD với trực tâm H nằm tại vị trí miền ngoài tam giác

5. Bài tập luyện thực hành thực tế với đáp án

A. Trắc nghiệm

Câu 1.

Cho đoạn trực tiếp AB và điểm M nằm trong lòng A và B (MA < MB). Vẽ tia Mx vuông góc với AB, bên trên cơ lấy nhì điểm C và D sao cho tới MA = MC, MD = MB.
Tia AC hạn chế BD ở E. Tính số đo góc

A. 30⁰B. 45⁰C. 60⁰D. 90⁰

Đáp án: D

Câu 2

Cho ΔABC cân nặng bên trên A, hai tuyến đường cao BD và CE hạn chế nhau bên trên I. Tia AI hạn chế BC bên trên M. Khi cơ ΔMED là tam giác gì?

A. Tam giác cân
B. Tam giác vuông cân
C. Tam giác vuông
D. Tam giác đều.

Đáp án: A

Câu 3. Cho ΔABC vuông bên trên A, bên trên cạnh AC lấy những điểm D, E sao cho tới = = . Trên tia đối của tia DB lấy điểm F sao cho tới DF = BC. Tam giác CDF là tam giác gì?

A. Tam giác cân nặng bên trên F
B. Tam giác vuông bên trên D
C. Tam giác cân nặng bên trên D
D. Tam giác cân nặng bên trên C

Đáp án: A

Bài 3: Cho ΔABC, hai tuyến đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC. Em nên lựa chọn câu sai:

A. BM = MC
B. ME = MD
C. DM = MB
D. M ko nằm trong lối trung trực của DE

Giải

Vì M là trung điểm của BC (gt) suy đi ra BM = MC (tính hóa học trung điểm), loại đáp án A.

Xét ΔBCE với M là trung điểm của BC (gt) suy đi ra EM là trung tuyến

⇒ EM = BC/2 (1) (trong tam giác vuông lối trung tuyến ứng cới cạnh huyền vì thế nửa cạnh ấy)

Xét ΔBCD với M là trung điểm của BC (gt) suy đi ra DM là trung tuyến

⇒ DM = MB = BC/2 (2) (trong tam giác vuông lối trung tuyến ứng cới cạnh huyền vì thế nửa cạnh ấy) nên loại đáp án C

Từ (1) và (2) ⇒ EM = DM ⇒ M nằm trong lối trung trực của DE. Loại đáp án B, lựa chọn đáp án D

Chọn đáp án D

Bài 4: Cho ΔABC với AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho tới CE = AB. Các lối trung trực của BE và AC hạn chế nhau bên trên O. Chọn câu đúng

A. ΔABO = ΔCOE
B. ΔBOA = ΔCOE
C. ΔAOB = ΔCOE
D. ΔABO = ΔCEO

Xét tam giác ΔAOB và ΔCOE có

+ OA = OC (vì O nằm trong lối trung trực của AC )

+ OB = OE (vì O nằm trong lối trung trực của BE )

+ AB = CE (giả thiết)

Do cơ ΔAOB = ΔCOE (c-c-c)

Chọn đáp án C

B, Tự luận

Bài 1

Hãy lý giải tại vì sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm tại vị trí bên phía ngoài tam giác.

GIẢI

+ Xét ΔABC vuông bên trên A

AB ⏊AC ⇒ AB là lối cao ứng với cạnh AC và AC là lối cao ứng với cạnh AB

hay AB, AC là hai tuyến đường cao của tam giác ABC.

Mà AB hạn chế AC bên trên A

⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.

Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông

+ Xét ΔABC tù với góc A tù, những lối cao CE, BF (E nằm trong AB, F nằm trong AC), trực tâm H.

+ Giả sử E nằm trong lòng A và B, Lúc đó

$\begin{aligned} &\widehat{\mathrm{CAE}} \equiv \widehat{\mathrm{CAB}} \text { là góc tù. }\\ &\text { Trong } \triangle \mathrm{ACE} \text { với }\\ &\widehat{\mathrm{CAE}}+\widehat{\mathrm{ACE}}+\widehat{\mathrm{CEA}}>90^{\circ}+\widehat{\mathrm{ACE}}+90^{\circ}\\ &=180^{\circ}+\widehat{\mathrm{ACE}}>180^{\circ} \end{aligned}$

Vậy E ở ngoài A và B

⇒ tia CE ở ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE ở bên phía ngoài ΔABC.

+ Tương tự động tớ với tia BF ở bên phía ngoài ΔABC.

+ Trực tâm H là kí thác của BF và CE ⇒ H ở bên phía ngoài ΔABC.

Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm tại vị trí bên phía ngoài tam giác.

Bài 2: Cho hình vẽ

a) Chứng minh NS ⊥ LM

b) Khi góc LNP = 50^o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.

GIẢI

a) Trong ΔMNL có:

LP ⊥ MN nên LP là lối cao của ΔMNL.

MQ ⊥ NL nên MQ là lối cao của ΔMNL.

Mà LP, MQ hạn chế nhau bên trên điểm S

Nên: theo đòi đặc thù tía lối cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.

⇒ đường thẳng liền mạch SN là lối cao của ΔMNL.

hay SN ⊥ ML.

+ Ta với : nhập tam giác vuông, nhì góc nhọn phụ nhau nên :

ΔNMQ vuông bên trên Q có:

$\begin{aligned} &\mathrm{LNP}+\widehat{\mathrm{QMN}}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{\mathrm{LNP}}=90^{\circ}-\widehat{\mathrm{QMN}}\\ &\Delta \text { MPS vuông bên trên } \mathrm{P} \text { với }\\ &\widehat{\mathrm{QMN}}+\overrightarrow{\mathrm{MSP}}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{\mathrm{MSP}}=90^{\circ}-\widehat{\mathrm{QMP}}\\ &\Rightarrow \widehat{\mathrm{LNP}}=\widehat{\mathrm{MSP}} . \text { Mà } \widehat{\mathrm{LNP}}=50^{\circ}(\mathrm{gt})\\ &\Rightarrow \widehat{\mathrm{MSP}}=50^{\circ}\\ &+\overline{\mathrm{MSP}}+\mathrm{PSQ}=180^{\circ} \text &\Rightarrow \widehat{\mathrm{PSQ}}=180^{\circ}-\overline{\mathrm{MSP}}=180^{0}-50^{0}=130^{\circ} \end{aligned}$

Bài 3:

Trên đường thẳng liền mạch d, lấy tía điểm phân biệt I, J, K (J ở thân mật I và K).

Kẻ đường thẳng liền mạch l vuông góc với d bên trên J. Trên l lấy điểm M không giống với điểm J. Đường trực tiếp qua quýt I vuông góc với MK hạn chế l bên trên N.

Chứng minh KN ⊥ IM.

GIẢI

Vẽ hình minh họa:

Trong một tam giác, tía lối cao đồng quy bên trên một điểm là trực tâm của tam giác cơ.

l ⊥ d bên trên J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là lối cao của ΔMKI.

N phía trên đường thẳng liền mạch qua quýt I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là lối cao của ΔMKI.

IN và MJ hạn chế nhau bên trên N .

Theo đặc thù tía lối cao của tớ giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.

⇒ KN cũng chính là lối cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ XiaoMi MI.

Vậy KN ⏊ IM

Bài 4:

Hãy lý giải tại vì sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm tại vị trí bên phía ngoài tam giác.

Gợi ý đáp án

+ Xét ΔABC vuông bên trên A

AB ⏊AC ⇒ AB là lối cao ứng với cạnh AC và AC là lối cao ứng với cạnh AB

hay AB, AC là hai tuyến đường cao của tam giác ABC.

Mà AB hạn chế AC bên trên A

⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.

Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông

+ Xét ΔABC tù với góc A tù, những lối cao CE, BF (E nằm trong AB, F nằm trong AC), trực tâm H.

+ Giả sử E nằm trong lòng A và B, Lúc đó

Vậy E ở ngoài A và B

⇒ tia CE ở ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE ở bên phía ngoài ΔABC.

+ Tương tự động tớ với tia BF ở bên phía ngoài ΔABC.

+ Trực tâm H là kí thác của BF và CE ⇒ H ở bên phía ngoài ΔABC.

Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm tại vị trí bên phía ngoài tam giác.

Bài 5: Cho hình vẽ

a) Chứng minh NS ⊥ LM

b) Khi góc LNP = 50^o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.

Gợi ý đáp án

a) Trong ΔMNL có:

LP ⊥ MN nên LP là lối cao của ΔMNL.

Xem thêm: sách chân trời sáng tạo lớp 3

MQ ⊥ NL nên MQ là lối cao của ΔMNL.

Mà LP, MQ hạn chế nhau bên trên điểm S

Nên: theo đòi đặc thù tía lối cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.

⇒ đường thẳng liền mạch SN là lối cao của ΔMNL.

hay SN ⊥ ML.

+ Ta với : nhập tam giác vuông, nhì góc nhọn phụ nhau nên :

ΔNMQ vuông bên trên Q có:

Bài 7:

Trên đường thẳng liền mạch d, lấy tía điểm phân biệt I, J, K (J ở thân mật I và K).

Chứng minh KN ⊥ IM.

Gợi ý đáp án

Trong một tam giác, tía lối cao đồng quy bên trên một điểm là trực tâm của tam giác cơ.

l ⊥ d bên trên J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là lối cao của ΔMKI.

N phía trên đường thẳng liền mạch qua quýt I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là lối cao của ΔMKI.

IN và MJ hạn chế nhau bên trên N .

Theo đặc thù tía lối cao của tớ giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.

⇒ KN cũng chính là lối cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ XiaoMi MI.

Vậy KN ⏊ IM

Bài 8:

Cho tam giác ABC ko vuông. Gọi H là trực tâm của chính nó.

a) Hãy chỉ ra rằng những lối cao của tam giác HBC. Từ cơ hãy chỉ ra rằng trực tâm của tam giác cơ.

b) Tương tự động, hãy theo lần lượt chỉ ra rằng trực tâm của những tam giác HAB và HAC.

Gọi D, E, F là chân những lối vuông góc kẻ kể từ A, B, C của ΔABC.

⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa

a) ΔHBC với :

AD ⊥ BC nên AD là lối cao kể từ H cho tới BC.

BA ⊥ HC bên trên F nên BA là lối cao kể từ B cho tới HC

CA ⊥ BH bên trên E nên CA là lối cao kể từ C cho tới HB.

AD, BA, CA hạn chế nhau bên trên A nên A là trực tâm của ΔHCB.

b) Tương tự động :

+ Trực tâm của ΔHAB là C (C là kí thác điểm của tía lối cao : CF, AC, BC)

+ Trực tâm của ΔHAC là B (B là kí thác điểm của tía lối cao : BE, AB, CB)

Bài 9

Cho tam giác nhọn ABC với tía lối cao AD, BE, CF. sành AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Gợi ý đáp án:

Bài 4

BE là lối cao của $∆ ABC \Rightarrow ∆ ABE$ vuông bên trên E.

CF là lối cao của $∆ ABC \Rightarrow ∆ AFC$ vuông bên trên F.

AD là lối cao của $∆ ABC \Rightarrow ∆ ADC$ vuông bên trên D.

+ Xét ∆ ABE vuông bên trên E và ∆ AFC vuông bên trên F có:

BE = CF

$\widehat{EAF}$ chung

$\Rightarrow ∆ ABE = ∆ AFC$ (góc nhọn và một cạnh góc vuông).

$\Rightarrow AB = AC (1)$

+ Xét ∆CDA vuông bên trên D và ∆ AFC vuông bên trên F có:

AC chung

AD = CF

$\Rightarrow ∆CDA = ∆AFC$ (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).

$\Rightarrow \widehat{CAF}= \widehat{ACD}$

$\Rightarrow ∆ ABC$ cân nặng bên trên B

=> AB = BC (2)

Từ (1), (2) tớ có: AB = AC = BC

$\Rightarrow ∆ ABC$ đều.

Bài 10

Cho tam giác ABC vuông cân nặng bên trên A. Lấy điểm E nằm trong cạnh AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho tới AD = AE. Chứng minh rằng:

a) DE vuông góc với BC.

b) BE vuông góc với DC.

Gợi ý đáp án:

Bài 3

a) Gọi F là kí thác điểm của DE và BC

+ AD = AE => ∆ADE cân nặng bên trên A

∆ABC vuông cân nặng bên trên A => BA ⊥ AC hoặc EA ⊥ AD

=> ∆ ADE vuông cân nặng bên trên A

$=> \widehat{AED} = \widehat{ADE} = 45°$

+ ∆ ABC vuông cân nặng bên trên A

$=> \widehat{ABC} = \widehat{ACB} = 45°$

+ Xét ∆EFC có: $\widehat{FEC} + \widehat{FCE} + \widehat{EFC} = 180°$

$=> 45° + 45° + \widehat{EFC} = 180°$

$=> \widehat{EFC} = 180° - 90° = 90°$

=> EF ⊥ BC hoặc DE ⊥ BC.

b) Xét tam giác BCD có: CA ⊥ BD => CA là lối cao của ∆ BCD

DE ⊥ BC => DE là lối cao của ∆ BCD

Mà DE kí thác với CA bên trên E

=> E là trực tâm của ∆ BCD

=> BE ⊥ CD.

Bài 11

Cho tam giác ABC vuông bên trên A. Trên tia BA lấy điểm M sao cho tới BM = BC. Tia phân giác của góc B hạn chế AC bên trên H. Chứng minh rằng MH vuông góc với BC.

Gợi ý đáp án:

Bài 2

Gọi MH kí thác với BC bên trên điểm I.

+ Xét ∆MBH và ∆CBH có:

MB = MC

$\widehat{MBH} = \widehat{CBH}$

BH chung

=> ∆MBH = ∆CBH (c.g.c)

$=> \widehat{BMH} = \widehat{BCH}$

+ Xét tam giác ABC vuông bên trên A có: $\widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 90^{o}$

+ Ta có: $\widehat{BMI} + \widehat{ABC} = \widehat{ACB} + \widehat{ABC} = 90^{o}$

+ Xét tam giác BMI có: $\widehat{BMI} + \widehat{ABC} = 90^{o}$

$=> \widehat{BIM} = 90^{o}$ .

=> XiaoMi MI ⊥ BC hoặc MH vuông góc với BC.

Bài 12

Cho tam giác ABC ko vuông. Gọi H là trực tâm của chính nó.

Hãy chỉ ra rằng những lối cao của tam giác HBC. Từ cơ hãy chỉ ra rằng trực tâm của tam giác cơ.

Giải:

Gọi D, E, F là chân những lối vuông góc kẻ kể từ A, B, C của ΔABC.

⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.

ΔHBC với :

AD ⊥ BC nên AD là lối cao kể từ H cho tới BC.

BA ⊥ HC bên trên F nên BA là lối cao kể từ B cho tới HC

CA ⊥ BH bên trên E nên CA là lối cao kể từ C cho tới HB.

AD, BA, CA hạn chế nhau bên trên A nên A là trực tâm của ΔHCB.

Bài tập luyện 13:

Cho △ABC với những lối cao AD; BE; CF hạn chế nhau bên trên H. I; J theo lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: JT⊥EFJT⊥EF

b) Chứng minh: IE⊥JEIE⊥JE

c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.

d) Gọi P; Q là nhì điểm đối xứng của D qua quýt AB và AC

Chứng minh: P; F; E; Q trực tiếp sản phẩm.

Giải

a) Sử dụng đặc thù lối khoảng nhập tam giác vuông tớ có:

FI = 12AH = EIFJ = 12BC = EJFI = 12AH = EIFJ = 12BC = EJ

Vậy IJ là lối trung trực của EF

c)Tứ giác BFHD và ABDE nội tiếp (đpcm)

d) H là kí thác điểm 3 phân giác của tam giác EFD

Góc PFB = BFD

Góc DFH = EFH

4 góc này nằm trong lại = 2.90 =180 => P..,E,F trực tiếp hàng

Tương tự động tớ với F, E, Q trực tiếp sản phẩm.

6. Bài tập luyện tự động luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC ko vuông. Gọi H là trực tâm của chính nó. Hãy chỉ ra rằng những lối cao của tam giác HBC. Từ cơ hãy chỉ tớ trực tâm của tam giác cơ.

Bài 2: Cho lối tròn trặn (O, R) , gọi BC là thừng cung thắt chặt và cố định của lối tròn trặn và A là một trong điểm địa hình bên trên lối tròn trặn. Tìm tụ hội trực tâm H của tam giác ABC.

Bài 3: Cho △ABC với những lối cao AD;BE;CF hạn chế nhau bên trên H. I; J theo lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: IJ ⊥ EF

b) Chứng minh: IE ⊥ JE

Bài 4: Cho △ABC với những lối cao AD;BE;CF hạn chế nhau bên trên H. I; J theo lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: JT⊥EFJT⊥EF

b) Chứng minh: IE⊥JEIE⊥JE

c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.

d) Gọi P;Q là nhì điểm đối xứng của D qua quýt AB và AC

Chứng minh: P;F;E;Q trực tiếp sản phẩm.

Xem thêm: bộ sách giáo khoa lớp 8

Bài 5: Cho tam giác ABC với trực tâm H. Chứng minh rằng những điểm đối xứng với H qua quýt những đường thẳng liền mạch chứa chấp những cạnh hoặc trung điểm của những cạnh phía trên lối tròn trặn (ABC).

Bài 6: Cho tam giác ABC với những lối cao AD, BE, CF. Trực tâm H.DF hạn chế BH bên trên M, DE hạn chế CH bên trên N. chứng tỏ đường thẳng liền mạch trải qua A và vuông góc với MN trải qua tâm nước ngoài tiếp của tam giác HBC.

Bài 7: Cho tứ giác lồi ABCD với 3 góc ở những đỉnh A, B và C đều nhau. Gọi H và O theo lần lượt là trực tâm và tâm lối tròn trặn nước ngoài tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng O, H, D trực tiếp sản phẩm.